题目内容
如图，已知矩形ABCD，AB=8cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以相同的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），以PQ为直径作⊙O交AB于E，连接EQ，设点P运动时间为t秒，⊙O的面积为s．（1）求证：EQ⊥AB；
（2）试求s关于t的函数关系式，并求出当t=2时s的值；
（3）探究：是否存在一个时刻t，使⊙O与边AD相切？若存在，请求出此时s及t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用圆周角定理得出∠PEQ=90°，进而得出EQ⊥AB；
（2）利用PE，EQ的长得出QP的平方的值，进而得出（
）2=t2-8t+25，求出S关于t的函数关系式即可；
（3）利用已知得出当⊙O与边AD相切时，⊙O也与边BC相切，进而利用勾股定理以及一元二次方程的解法得出t的值即可．
（2）利用PE，EQ的长得出QP的平方的值，进而得出（
| PQ |
| 2 |
（3）利用已知得出当⊙O与边AD相切时，⊙O也与边BC相切，进而利用勾股定理以及一元二次方程的解法得出t的值即可．
解答：（1）证明：∵以PQ为直径作⊙O交AB于E，
∴PQ为⊙O直径，∠PEQ为圆周角，
∴∠PEQ=90°，
∴EQ⊥AB；
（2）解：设点P运动时间为t秒时，
则AP=tcm，QC=tcm，
∵EQ⊥AB，
∴∠QEB=∠B=∠C=90°，
∴四边形QEBC是矩形，
∴BE=CQ=tcm，EQ=BC=6cm，
∴PE=8-2tcm，
∴PQ2=EQ2+PE2，
∴PQ2=（8-2t）2+62
∴（
）2=
[（8-2t）2+62]=t2-8t+25，
∴S=π（
）2=π（t2-8t+25）=πt2-8πt+25π，
当t=2时，s=πt2-8πt+25π=4π-8π×2+25π=13π（cm2）；
（3）解：如图所示：
∵P，Q运动速度相同，
∴以PQ为直径作⊙O，当⊙O与边AD相切时，⊙O也与边BC相切，
∴此时⊙O直径为8cm，
设⊙O与边AD相切与点M，过点P作PN⊥OM于点N，
∴MO=PO=4cm，AP=tcm，则MN=tcm，PN=AM=MD=3cm，
∴在Rt△PNO中，
PN2+NO2=PO2，
∴32+（4-t）2=42，
解得：t1=4+
，t2=4-
，
此时s=π×42=16π（cm2），t的值分别为：4+
秒，4-
秒．
∴PQ为⊙O直径，∠PEQ为圆周角，
∴∠PEQ=90°，
∴EQ⊥AB；
（2）解：设点P运动时间为t秒时，
则AP=tcm，QC=tcm，
∵EQ⊥AB，
∴∠QEB=∠B=∠C=90°，
∴四边形QEBC是矩形，
∴BE=CQ=tcm，EQ=BC=6cm，
∴PE=8-2tcm，
∴PQ2=EQ2+PE2，
∴PQ2=（8-2t）2+62
∴（
| PQ |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴S=π（
| PQ |
| 2 |
当t=2时，s=πt2-8πt+25π=4π-8π×2+25π=13π（cm2）；
（3）解：如图所示：
∵P，Q运动速度相同，
∴以PQ为直径作⊙O，当⊙O与边AD相切时，⊙O也与边BC相切，
∴此时⊙O直径为8cm，
设⊙O与边AD相切与点M，过点P作PN⊥OM于点N，
∴MO=PO=4cm，AP=tcm，则MN=tcm，PN=AM=MD=3cm，
∴在Rt△PNO中，
PN2+NO2=PO2，
∴32+（4-t）2=42，
解得：t1=4+
| 7 |
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此时s=π×42=16π（cm2），t的值分别为：4+
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点评：此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和一元二次方程的解法等知识，利用已知得出当⊙O与边AD相切时，⊙O也与边BC相切是解题关键．
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