Question

9．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，过A点作BC的平行线，截取AE=BD，连结EB，连结EC交AD于点F．
（1）证明：当点F是AD的中点时，点D是BC的中点；
（2）证明：当点D是AB的中垂线与BC的交点时，四边形AEBD是菱形．

Answer 1

分析 （1）证得△EAF≌△CDF后即可得到DC=AE，然后根据AE=BD得到BD=DC；
（2）首先利用一组对边相等且平行的四边形为平行四边形证得平行四边形，然后根据中垂线的性质得到BD=AD，从而利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．

解答 证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠EAF=∠CDF，
又∵F是AD的中点，
∴AF=DF，
∴$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠CDF}\\{∠EFA=∠DFC}\\{AF=DF}\end{array}\right.$
∴△EAF≌△CDF，
∴DC=AE，
∵AE=BD，
∴BD=DC；

（2）∵AE=BD且AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
又∵点D是AB的中垂线与BC的交点，则有BD=AD，
∴平行四边形AEBD一组邻边相等，
∴四边形AEBD是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定及全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解菱形的几种判定方法，难度不大．