Question

（2012•桂平市三模）如图，直线AC∥BD，⊙O与AC和BD分别相切于点A和点B．点M和点N分别是AC和BD上的动点，MN沿AC和BD平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（　　）

• A．直线AC和BD的距离为2
• B．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切
• C．若MN与⊙O相切，则AM=

  3

• D．MN=

  4 3

  3

Answer 1

分析：A、根据切线的性质知直线AC和BD的距离为该圆的半径；
B、当MN与圆O相切时，求出∠MON度数即可做出判断；
C、当MN与圆O相切时，设切点为E，连接OE，OM，利用切线长定理得到MA=ME，且MO为角平分线，求出∠AMO为30°，在直角三角形AOM中，由OA及tan30°，求出AM，即可做出判断；
D、过M作MF垂直于BD，可得出MF=AB=2，在直角三角形MNF中，由∠MNF的度数及MF的长，利用锐角三角函数定义求出MN的长，即可做出判断．

解答：解：A、∵⊙O与AC和BD分别相切于点A和点B，
∴AB⊥AC，AB⊥BD，
∵AC∥BD，
∴A，O，B三点共线，
∴直线AC与BD间的距离为AB=2，本选项正确；
B、若∠MON=90°，则MN一定与⊙O相切，本选项正确；
C、当MN与⊙O相切时切点为E点，连接OM，OE，
∴MA=ME，MO为∠AME平分线，
∵∠AME=60°，
∴∠AMO=30°，
在Rt△AOM中，OA=1，
∴AM=

1

tan30°

=

3

，
同理：AM=

3

3

，
∴AM=

3

或

3

3

本选项错误；
D、作MF⊥BD，
∵AC∥BD，
∴∠MNF=∠AME=60°，
∵MF=AB=2，
在Rt△MNF中，MF=2，∠MNF=60°，
∴MN=

2

sin60°

=

4 3

3

，本选项正确；
故选C

点评：此题考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．