Question

（2012•桂平市三模）如图，矩形ABCD内接于⊙O，AB=3AD，对角线AC中点O为圆心，BK⊥AC，垂足为K．DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）设AB=y，BK=x，试求y与x的函数关系式；
（3）若DE=6，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析：（1）根据ABCD是矩形，求证△BKC≌△ADE即可；
（2）根据勾股定理求得AC的长，根据三角形的面积公式得出

1

2

AB×BC=

1

2

AC×BK，代入即可求得BK．
（3）由（2）中的函数关系式、AC=

10

3

y求得AC=

10

3

x．然后利用（1）中的全等三角形的对应边相等推知BK=DE=x，所以把x的值代入即可求得圆O的直径AC的长度．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BC=DA，
∴∠DAE=∠BCK，
∵BK⊥AC，DH∥KB，
∴∠DEA=∠BKC=90°，
∴在△DEA与△BKC中，

∠DEA=∠BKC=90° ∠DAE=∠BCK DA=BC

，
∴△DEA≌△BKC（AAS），
∴AE=CK；

（2）∵在矩形ABCD中，AD=BC，AB=3AD=y，则AB=3BC=y．
∴在直角△ABC中，根据勾股定理得，AC=

AB2+BC2

=

10

3

y．
又∵

1

2

AB•BC=

1

2

AC•BK，BK=x，
∴y×

y

3

=

10

3

yx，
∴y=

10

x，即y与x的函数关系式是y=

10

x；

（3）∵由（1）知，△DEA≌△BKC，
∴DE=BK=6．
又∵由（2）知，y=

10

x，AC=

10

3

y，
∴AC=

10

3

x．
∴当x=6时，AC=

10

3

×6=2

10

，
∴OA=

1

2

AC=

10

，即⊙O的半径长是

10

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，综合性很强，需要学生系统的掌握知识，是一道很典型的题目．