Question

6．如图，△ABC中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），且满足b=$\sqrt{a-c}$+$\sqrt{c-a}$-2，
（1）BD⊥AC于D，交y轴于M，求M点坐标；
（2）过点A作AG⊥BC于G，交OC于N，若∠CAN=15°，求AN的长；
（3）P为第一象限一点，PQ⊥PA交y轴于Q．在PQ上截取PE=PA，F为CE的中点，求∠OPF的度数．

Answer 1

分析 （1）先判定△AOC是等腰直角三角形，再判定△BOM是等腰直角三角形，根据OB=2，得出OM=2，即可得出M（0，2）；
（2）先求得∠BCO=∠OAN=30°，再判定△BOC≌△NOA（ASA），得到BC=NA，再根据Rt△BOC中，BC=2BO=4，即可得出AN=4；
（3）先连接OF，把△OCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处，连接DP，由旋转可得，AD=CF=EF，∠OCF=∠OAD，OF=OD，再判定△PEF≌△PAD（SAS），得出PF=PD，∠FPE=∠DPA，进而判定△OPF≌△OPD（SSS），即可∠OPF=∠OPD=$\frac{1}{2}$∠FPD=45°．

解答 解：（1）由题可得，a-c≥0，c-a≥0，
∴a=c，即OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAD=45°，
又∵BD⊥AC，
∴∠ABD=45°，
又∵∠BOM=90°，
∴△BOM是等腰直角三角形，
∴OB=OM，
∵b=$\sqrt{a-c}$+$\sqrt{c-a}$-2，且a=c，
∴b=-2，即OB=2，
∴OM=2，
∴M（0，2）；

（2）∵∠CAN=15°，∠OAC=45°，
∴∠OAN=30°，
∵AG⊥BC，CO⊥AO，∠ANO=∠CNG，
∴∠BCO=∠OAN=30°，
在△BOC和△NOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCO=∠OAN}\\{CO=AO}\\{∠COB=∠AON}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△NOA（ASA），
∴BC=NA，
又∵Rt△BOC中，BC=2BO=4，
∴AN=4；

（3）如图3，连接OF，把△OCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处，连接DP，
由旋转可得，AD=CF=EF，∠OCF=∠OAD，OF=OD，
∵∠AOQ+∠APQ=180°，
∴∠OAP+∠OQP=180°，
又∵∠EQC+∠OQP=180°，
∴∠OAP=∠EQC，
∴∠PEF=∠PAD，
在△PEF和△PAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=AD}\\{∠PEF=∠PAD}\\{PE=PA}\end{array}\right.$，
∴△PEF≌△PAD（SAS），
∴PF=PD，∠FPE=∠DPA，
∴∠FPD=∠QPA=90°，
∵在△OPF和△OPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OD}\\{OP=OP}\\{PF=PD}\end{array}\right.$，
∴△OPF≌△OPD（SSS），
∴∠OPF=∠OPD=$\frac{1}{2}$∠FPD=45°．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质以及二次根式有意义的条件的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形对应相等，对应角相等进行计算求解．