Question

1．如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交$\widehat{CB}$于D，连接AC、BD．
（1）请写出两个不同类型的正确结论．
（2）若CB=2$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据直角所对的圆周角是直角、垂径定理写出结论；
（2）根据勾股定理求出DE的长，设⊙O的半径为R，根据勾股定理列出关于R的方程，解方程得到答案．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD⊥CB，
∴CE=BE，
则两个不同类型的正确结论：∠C=90°；CE=BE；
（2）∵OD⊥CB，
∴CE=BE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，又BD=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{B{D}^{2}-B{E}^{2}}$=1，
设⊙O的半径为R，则OE=R-1，
∴R²=（R-1）²+（$\sqrt{2}$）²，
解得R=$\frac{3}{2}$．
答：⊙O的半径为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．