Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F点，G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM．若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，则AB=

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：根据线段中点的定义可得AM=MD，根据矩形的性质可得∠A=∠MDF=90°，再利用“角边角”证明△AME和△DMF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DF，根据等腰直角三角形的性质可得EG=FG，再求出∠BGE=∠CFG，然后利用“角角边”证明△BEG和△CGF全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=CF，BE=CG，设BE=x，然后根据BG、CF的长度列出方程求解即可．

解答：解：∵M是AD的中点，
∴AM=MD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠MDF=90°，
在△AME和△DMF中，

∠A=∠MDF AM=MD ∠AME=∠DMF

，
∴△AME≌△DMF（ASA），
∴AE=DF，
∵△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，
∴EG=FG，∠BGE+∠CGF=90°，
∵∠CGF+∠CFG=90°，
∴∠BGE=∠CFG，
在△BEG和△CGF中，

∠BGE=∠CFG ∠B=∠C=90° EG=FG

，
∴△BEG≌△CGF（AAS），
∴BG=CF，BE=CG，
设BE=x，则AE=DF=AB-x，
∵BG=4-x，CF=CD+DF=AB+x=AB+AB-x，
∴4-x=AB+AB-x，
解得AB=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等并列式表示出BG、CF是解题的关键．