题目内容

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC= $\text{[math]}$ =10．
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DH= $\text{[math]}$ •AC= $\text{[math]}$ ×8= $\text{[math]}$

（2）∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即y关于x的函数关系式为：y= $\text{[math]}$ x+6．

（3）存在，分三种情况：
①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴x= $\text{[math]}$ ．
②当PQ=RQ时，- $\text{[math]}$ x+6= $\text{[math]}$ ，
∴x=6．
③作EM⊥BC，RN⊥EM，
∴EM∥PQ，
当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，
∴EN=MN，
∴ER=RC，
∴点R为EC的中点，
∴CR= $\text{[math]}$ CE= $\text{[math]}$ AC=2．
∵tanC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴x= $\text{[math]}$ ．
综上所述，当x为 $\text{[math]}$ 或6或 $\text{[math]}$ 时，△PQR为等腰三角形．

分析：（1）根据三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根据相似三角形的性质求出DH的长；
（2）根据△RQC∽△ABC，根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式；
（3）画出图形，根据图形进行讨论：
①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即可求出x的值；
②当PQ=RQ时，- $\text{[math]}$ x+6= $\text{[math]}$ ，x=6；
③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR= $\text{[math]}$ CE= $\text{[math]}$ AC=2．由于tanC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，x= $\text{[math]}$ ．
点评：本题很复杂，把一次函数与三角形的知识相结合，使题目的综合性加强，提高了难度，解答此题的关键是根据题意画出图形，用数形结合的方法解答．