Question

17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最小值是4．

Answer 1

分析 利用点A、B、C的坐标可得到AB=AC=a，则AB=AC=AP=a，连接AD交⊙D于P′，利用两点间的距离公式计算出DA=5，即可得到P′A=4，于是可判断a的最小值为4．

解答 解：∵点A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0），
∴AB=AC=a，
∵∠BPC=90°，
∴AB=AC=AP=a，
连接AD交⊙D于P′，
DA=$\sqrt{（4-1）^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴P′A=5-1=4，
即⊙D上点到A的最短距离为4，
∴a的最小值为4．
故答案为4．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．