题目内容

已知直线 $数学公式$ （n是正整数）．当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与 x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，设△A₁OB₁（O是平面直角坐标系的原点）的面积为s₁；当n=2时，直线 $数学公式$ 与x轴和y轴分别交于点A₂和B₂，设△A₂OB₂的面积为s₂，…，依此类推，直线l_n与x轴和y轴分别交于点A_n和B_n，设△A_nOB_n的面积为S_n．
（1）求△A₁OB₁的面积s₁；
（2）求s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₉的值．

解：（1）y=-2x+1，
当x=0时，y=1，
当y=0时，x= $\text{[math]}$ ，
∴S₁= $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
答：△A₁OB₁的面积s₁是 $\text{[math]}$ ．

（2）由（1）知：S₁= $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ ），
同理求出S₂= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
S₃= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
…
S₂₀₀₉= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₉= $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
= $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
答：s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₉的值是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求出直线与X、Y轴的交点坐标，根据三角形的面积公式求出即可；
（2）由（1）知：S₁= $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ ），同理求出S₂= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），S₃= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），…S₂₀₀₉= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），代入S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₉求出即可．
点评：本题主要考查对三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据计算得出规律是解此题的关键．