题目内容

如图，四边形OBCD为平行四边形，OD=2，∠DOB=60°，以OD为直径的⊙P经过点B，N为BC边上任意一点（

与点B，点C不重合），过N点作直线MN⊥x轴，垂足为A，交DC边于点M，设OA=t，△OMN的面积为S．
（1）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）求点D的坐标与直线BC的解析式；
（3）当S=

时，试判定直线MN与⊙P的位置关系，并说明理由．

分析：利用圆内接三角形的性质得出∠DBO=90°，从而求出D的坐标；运用圆与直线的线切知识求出直线MN与⊙P的关系．

解答：

解：如下图所示：连接DB，BP，

（1）由于ODBC是平行四边形，且MN⊥x轴于A
所以AM=BD=

，∠CBA=∠DOB=60°
在Rt△BAN中，AN=tan∠CBA×BA=

（t-1）
所以MN=AM-AN=

（2-t）
即：△OMN的面积为s=

×MN×OA=

（2-t）t=

t（2-t）
又∵点N为BC边上任意一点与点B、C不重合
∴t的取值范围为：1＜t＜2；

（2）由于⊙OP过点B，OD是圆的直径，所以∠DBO=90°
在Rt△OBD中，OB=OD×cos∠DOB=2×

=1；DB=OD×sin∠DOB=2×

所以点D的坐标为：D（1，

）；
设直线BC为y=kx+b，
∴

-2k+b=

-k+b=0

，∴

k=-

b=-

，
∴直线BC的解析式为：y=-

．

（3）当s=

t（2-t）=

时，
又1＜t＜2，∴t=

圆心P到MN的距离=

（DM+OA）=

×（

-1+

）=1=

OD，
所以此时直线MN与⊙P相切．

点评：本题主要考查了含30度角的直角三角形及圆内接三角形的性质和直线与圆相切的知识，有一定难度，注意熟练掌握各部分知识并灵活运用时关键．

练习册系列答案

一卷通关系列答案

如图，四边形OBCD为平行四边形，OD=2，∠DOB=60°，以OD为直径的⊙P经过点B，N为BC边上任意一点（与点B，点C不重合），过N点作直线MN⊥x轴，垂足为A，交DC边于点M，设OA=t，△OMN的面积为S．
（1）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）求点D的坐标与直线BC的解析式；
（3）当S= $数学公式$ 时，试判定直线MN与⊙P的位置关系，并说明理由．

如图，四边形OBCD为平行四边形，OD=2，∠DOB=60°，以OD为直径的⊙P经过点B，N为BC上任意一点（与B、C不重合），过N作直线MN⊥x轴，垂足为A，MN交DC于M，设OA=t，OMN的面积为S．
（1）求出D、B、C点的坐标和过B、C两点的一次函数的解析式．
（2）求S与t之间的函数关系式及t的范围．
（3）当S= $数学公式$ 时，试判定直线MN与⊙P的位置关系．