Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ．

(1)求点B的坐标．

(2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由．

(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1) 点B的坐标为(，1)；(2)∠ABQ的大小始终不变，∠ABQ＝90°；(3) P的坐标为(-，0)

【解析】

（1）过点B作BC⊥x轴于点C，根据等边三角形的性质可得∠AOB＝60°，BO＝OA＝2，从而求出∠BOC＝30°，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出BC和OC，从而求出点B的坐标；

（2）根据等边三角形的性质可得AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°，从而证出∠PAO＝∠QAB，然后利用SAS证出△APO≌△AQB，从而得出∠ABQ＝∠AOP＝90°；

（3）根据题意，画出图形，然后根据平行线的性质可得∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°，从而求出∠OBQ=30°，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OQ和BQ，再根据（2）中全等可得OP=BQ，从而求出点P的坐标．

解：(1)如图①，过点B作BC⊥x轴于点C．

∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，

∴∠AOB＝60°，BO＝OA＝2．

∴∠BOC＝30°．

又∵∠OCB＝90°，

∴BC＝OB＝1，OC＝．

∴点B的坐标为(，1)．

(2)∠ABQ的大小始终不变．

∵△APQ，△AOB均为等边三角形，

∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°．

∴∠PAO＝∠QAB．

在△APO与△AQB中，

∴△APO≌△AQB(SAS)．

∴∠ABQ＝∠AOP＝90°．

(3)如图②，当OQ∥AB时，点P在x轴的负半轴上，点Q在点B的下方，

∵AB∥OQ，

∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．

∴∠OBQ＝30°．

又OB＝OA＝2，

∴OQ＝OB＝1，BQ＝，

由(2)可知，△APO≌△AQB，

∴OP＝BQ＝．

∴此时点P的坐标为(-，0)．