Question

如图，AB为⊙O的直径，OE交弦AC于点P，交

AM

于点M，且

AM

=

CM

．
（1）求证：OP=

1

2

BC；
（2）如果AE²=EP•EO，且AE=6

5

，BC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）只需根据垂径定理证明AP=CP，再根据三角形的中位线定理即可证明；
（2）根据所给的比例式发现相似三角形，从而得到∠OAE=90°．又根据已知的比例式可以求得OE的长，再根据勾股定理即可．

解答：（1）证明：∵

AM

=

MC

，OM为圆的半径，AC为圆的弦，
∴P为AC的中点，即AP=CP，
又∵OA=OB，
∴OP为△ABC的中位线，
∴OP=

1

2

BC；

（2）解：∵AE²=EP•EO，
∴

AE

EP

=

EO

AE

．
又∵∠E=∠E，
∴△AEO∽△PEA，
∴∠OAE=∠APE，
∵

AM

=

MC

，
∴MO⊥AC，即∠APE=90°，
∴∠OAE=90°，
∴OP=

1

2

BC，BC=6，
∴OP=3，
又∵AE²=EP•EO，且AE=6

5

，EP=EO-OP=EO-3，
∴EO（EO-3）=（6

5

）²，
解得：EO=15，EO=-12（舍去）．
在Rt△OAE中，EO=15，AE=6

5

，
根据勾股定理得：OA=

EO2-AE2

=3

5

．
∴⊙O的半径为3

5

．

点评：熟练运用相似三角形的判定、勾股定理、垂径定理、三角形的中位线定理．