Question

5．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．
（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）填空：
①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是$\frac{3}{2}$；
②若AB=2，当∠CAB的度数为75°或15°时，四边形DEFG是正方形．

Answer 1

分析 （1）只要证明DG=EF，DG∥EF即可解决问题；
（2）①只要证明四边形DEFG是矩形即可解决问题；
②分点C在优弧AB或劣弧AB上两种切线讨论即可；

解答 解：（1）四边形DEFG是平行四边形．
∵点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，
∴DG∥AB，DG=$\frac{1}{2}$AB，EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）①连接OC．
∵CA=CB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴DG⊥OC，
∵AD=DC，AE=EO，
∴DE∥OC，DE=$\frac{1}{2}$OC=1，同理EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
∴DE⊥DG，
∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的面积=$\frac{3}{2}$．
故答案为$\frac{3}{2}$；
②当C是优弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=75°，
当C是劣弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=15°，
故答案为75°或15°．

点评 本题考查的是三角形的外接圆、正方形的性质和判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．