Question

11．如图，E是正方形ABCD的BC边上一点，过AE上点P作FG⊥AC，分别交AB、CD于F、G，求证：FG=AE．

Answer 1

分析 过点F作FH⊥DC，交AE于点M，由正方形的性质以及已知条件易证△ABE≌△FHG，进而可证明FG=AE．

解答 解：
过点F作FH⊥DC，交AE于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=FH，∠ABE=∠FHG=90°，
∴∠BAE+∠FMA=90°，
∵FG⊥AC，
∴∠GFH+∠FMA=90，
∴∠BAE=∠FMA，
在△ABE和△FHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FMA}\\{AB=FH}\\{∠ABC=∠FHG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FHG，
∴AE=FG．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的判定，垂线的定义．