Question

6．（1）已知3x²-5x+1=0，求下列各式的值：①3x+$\frac{1}{x}$；②9x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$；
（2）若3x^m+1-2x^n-1+xⁿ是关于x的二次多项式，试求3（m-n）²-4（n-m）²-（m-n）³+2（n-m）³的值．

Answer 1

分析 （1）①根据3x²-5x+1=0，等式两边同除以x即可解答本题；
②根据①中的结果，两边同时平方，再化简即可解答本题；
（2）先化简所求式子，再根据3x^m+1-2x^n-1+xⁿ是关于x的二次多项式，可以求得m、n的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．

解答 解：（1）①∵3x²-5x+1=0，
∴3x-5+$\frac{1}{x}$=0，
∴3x+$\frac{1}{x}$=5；
②∵3x+$\frac{1}{x}$=5
∴$（3x+\frac{1}{x}）^{2}=25$，
∴$9{x}^{2}+6+\frac{1}{{x}^{2}}$=25，
∴$9{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}$=19；
（2）3（m-n）²-4（n-m）²-（m-n）³+2（n-m）³
=-（m-n）²+3（n-m）³
∵3x^m+1-2x^n-1+xⁿ是关于x的二次多项式，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1=2}\\{n=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m+1=2}\\{n=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m+1=1}\\{n=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m+1=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴当m=1，n=2时，原式=-（1-2）²+3（2-1）³=-1+3=2；
当m=1，n=1时，原式=-（1-1）²+3（1-1）³=0；
当m=0，n=2时，原式=-（0-2）²+3（2-0）³=-4+24=20；
当m=-1，n=2时，原式=-（-1-2）²+3（2+1）³=-9+81=72．

点评 本题考查分式的化简求值、多项式、完全平方公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．