Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）如果CD=6，tan∠BCD=

1

2

，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）由BC∥CD，AB⊥CD，可证AB⊥BE，从而可证BE为⊙O的切线；
（2）由垂径定理知：CM=

1

2

CD，在Rt△BCM中，已知tan∠BCD和CM的值，可将BM，CM的值求出，由

BC

=

BD

，可知：∠BAC=∠BCD，在Rt△ACM中，根据三角函数可将AM的值求出，故⊙O的直径为AB=AM+BM．

解答：（1）证明：∵BE∥CD，AB⊥CD，
∴AB⊥BE．
∵AB是⊙O的直径，
∴BE为⊙O的切线．

（2）解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CM=

1

2

CD，

BC

=

BD

，CM=

1

2

CD=3，
∴∠BAC=∠BCD．
∵tan∠BCD=

BM

CM

=

1

2

，
∴BM=

3

2

，
∵

CM

AM

=tan∠BCD=

1

2

．
∴AM=6．
∴AB=AM+BM=7.5．

点评：本题主要考查学生对圆、三角函数、以及解直角三角形的运算能力．