Question

【题目】如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°，当点E，F分别在对角线BD、边CD上，若FC＝6，则BE的长为_____．

Answer 1

【答案】3．

【解析】

作△ADF的外接圆⊙O，连接EF、EC，过点E分别作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如图）根据圆周角定理得到AF为⊙O直径，根据正方形的性质得到∠EDF=∠EAF=45°，推出△AEF为等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到AE=CE，得到CM=CF＝3，推出四边形CMEN是矩形，求得EN=CM=3，于是得到结论．

解：作△ADF的外接圆⊙O，连接EF、EC，过点E分别作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如图）

∵∠ADF＝90°，

∴AF为⊙O直径，

∵BD为正方形ABCD对角线，

∴∠EDF＝∠EAF＝45°，

∴点E在⊙O上，

∴∠AEF＝90°，

∴△AEF为等腰直角三角形，

∴AE＝EF，

在△ABE与△CBE中，

∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴AE＝CE，

∴CE＝EF，

∵EM⊥CF，CF＝6，

∴CM＝CF＝3，

∵EN⊥BC，∠NCM＝90°，

∴四边形CMEN是矩形，

∴EN＝CM＝3，

∵∠EBN＝45°，

∴BE＝EN＝3，

故答案为3．