Question

10．如图，四边形ABCD为矩形，DE∥AC，且DE=AB，过点E作AD的垂线交AC于点F．
（1）依题意补全图，并证明四边形EFCD是菱形； 
（2）若AB=3，BC=3$\sqrt{3}$，求平行线DE与AC间的距离．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出∠EHD=∠ADC，再利用菱形的判定证明即可；
（2）过点D作DG⊥AC于G，利用三角函数进行解答即可．

解答 （1）证明：根据题意补全图，如图1：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB，
∵EF⊥AD，
∴∠EHD=90°，
∴∠EHD=∠ADC，
∴EF∥CD，
又∵DE∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
又∵DE=AB，
∴DE=CD，
∴四边形EFCD是菱形；
（2）解：过点D作DG⊥AC于G，如图2：

在Rt△ABC中，AB=3，BC=$3\sqrt{3}$，
∴$tan∠ACB=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，CD=3，
∴∠ACB=30°，
∴∠1=60°，
∴在Rt△DCG中，CD=3，$DG=CD•sin∠1=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴平行线DE与AC间的距离是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查菱形的判定，关键是根据矩形的性质得出∠EHD=∠ADC，再利用菱形的判定进行分析．