Question

观察式子：
（1）x²-1=（x-1）（x+1），∴

x2-1

x+1

=

x-1

；
（2）x³-1=（x-1）（x²+x+1），∴

x3-1

x2+x+1

=

x-1

；
（3）x³-1=（x-1）（　　），∴

x4-1

x3+x2+x+1

=x-1；
（4）猜想：xⁿ-1=（x-1）（　　），∴

xn-1

(    )

=x-1．
如果要计算2¹⁰-2⁹+…+1的值，你能用一个两项式表达2¹⁰-2⁹+…+1的值吗？

Answer 1

分析：根据分式的约分得到（1）

x2-1

x+1

=x-1；（2）

x3-1

x2+x+1

=x-1；（3）

x4-1

x3+x2+x+1

=x-1；（4）xⁿ-1=（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x+1），∴

xn-1

xn-1+xn-2+…+x+1

=x-1；根据上面的规律得到（-2）¹¹-1=[（-2）-1）][（-2）¹⁰+（-2）⁹+…+（-2）+1]=（-3）（2¹⁰-2⁹+…+1），则2¹⁰-2⁹+…+1=

1

3

（2¹¹-1）．

解答：解：（1）x²-1=（x-1）（x+1），∴

x2-1

x+1

=x-1；
（2）x³-1=（x-1）（x²+x+1），∴

x3-1

x2+x+1

=x-1；
（3）x⁴-1=（x-1）（x³+x²+x+1），∴

x4-1

x3+x2+x+1

=x-1；
（4）猜想：xⁿ-1=（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x+1），∴

xn-1

xn-1+xn-2+…+x+1

=x-1；　　
当n=11，x¹¹-1=（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1），
令x=-2，则（-2）¹¹-1=[（-2）-1）][（-2）¹⁰+（-2）⁹+…+（-2）+1]=（-3）（2¹⁰-2⁹+…+1），
所以2¹⁰-2⁹+…+1=

(-2)11-1

-3

=

1

3

（2¹¹-1）．
故答案为x-1，x-1．

点评：本题考查了分式的混合运算：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），再进行分式的乘除运算，然后进行分式的加减运算．