Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 首先考虑到BE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=60°，故△ACE是等边三角形，可证明△ABE与△CBE全等，可得到∠ABE=45°，∠AEB=30°，再证△AFB和△AFE是直角三角形，然后在根据勾股定理求解．

解答 解：连结CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BCA=∠BAC=45°，
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC=∠DAE=45°，AC=AE，
又∵旋转角为60°，
∴∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形
∴AC=CE=AE=2$\sqrt{2}$，
在△ABE与△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{AE=CE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠ABE=∠CBE=45°，∠CEB=∠AEB=30°，
∴在△ABF中，∠BFA=180°-45°-45°=90°，
∴∠AFB=∠AFE=90°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
BF=AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
又在Rt△AFE中，∠AEF=30°，∠AFE=90°，
∴FE=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{6}$
∴BE=BF+FE=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
故答案为：$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．

点评 此题是旋转性质题，解决此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用．