题目内容

如图中曲线是反比例函数 $数学公式$ 的图象的一条．
（1）这个反比例函数图象的另一条位于哪个象限？求出常数m的取值范围；
（2）若一次函数 $数学公式$ 的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴、x轴分别交于点B、C，如图所示．已知△AOC的面积为2，求m的值；
（3）设点M（x₀，y₀）是线段BC上的一动点，过M作x轴的垂线，垂足为N，作y轴的垂线，垂足为E，求矩形MNOE面积的最大值．

解：（1）∵反比例函数图象的一条在第二象限，
∴这个反比例函数图象的另一条位于第四象限，
∴m-5＜0，
∴m＜5；

（2）当y=0时，- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =0，x=2，
∴C（2，0），
设A（x₁，y₁），则S_△AOC= $\text{[math]}$ ×OC×y₁= $\text{[math]}$ ×2×y₁=2，
∴y₁=2，
∴y₁=- $\text{[math]}$ x₁+ $\text{[math]}$ =2，

解得x₁=-3，
∴A（-3，2），
把A点坐标代入y= $\text{[math]}$ 中得：
2= $\text{[math]}$ ，
解得：m=-1；

（3）S_矩形MNOE=x₀y₀= $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴当M点的横坐标为1时，矩形MNOE的面积最大，最大面积是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据反比例函数的性质，当k＜0时，图象在第二、四象限，即可得到答案；
（2）首先利用一次函数解析式算出C点坐标，再根据△AOC的面积为2可以得到A点纵坐标，然后再次利用一次函数解析式算出A点横坐标，进而得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数解析式即可算出m的值；
（3）根据题意画出图形，根据解析式可得y₀=- $\text{[math]}$ x₀+ $\text{[math]}$ ，再代入S_矩形MNOE=x₀y₀，可得到S= $\text{[math]}$ ，再利用配方法可得x₀=1时矩形MNOE的面积最大．
点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的综合运用，以及三角形的面积公式，关键是熟练掌握反比例函数的性质，熟练掌握函数图象上的点与函数关系式的关系．