Question

如图，正方形ABCD中，G为射线BC上一点，连接AG，过G点作GN⊥AG，再作∠DCM的平分线，交GN于点H．
（1）如图1，当G是线段BC的中点时，求证：AG=GH；
（2）如图2，当G是线段BC上任意一点时，（1）中结论还成立吗？若不成立请说明理由；若成立，请写出证明过程．
（3）当G是线段BC的延长线上任意一点时，（1）中结论还成立吗？若不成立请说明理由；若成立，请写出证明过程．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）取AB的中点E，连接GE，则GC=AE，由已知可推出∠AEG=∠GCH，∠EAG=∠CGH，从而利用ASA判定△AEG≌△GCH，从而得到AG=GH；
（2）在AB上取一点E，使AE=GC，连接EG，同理可证：△AEG≌△GCH，所以AG=GH；
（3）在BA的延长线上取一点E，使AE=GC，连接EG，同理可证：△AEG≌△GCH，所以AG=GH．

解答：（1）证明：如图1，取AB的中点E，连接GE，则GC=AE．
∵四边形ABCD是正方形，G是线段BC的中点，
∴BG=BE=AE=GC，
∴△BEG为等腰直角三角形，
∴∠AEG=135°，
而CH是∠DCM的平分线，
∴∠GCH=135°，
∴∠AEG=∠GCH．
∵AG⊥GH，
∴∠CGH+∠AGB=90°，
又∵∠EAG+∠AGB=90°，
∴∠EAG=∠CGH．
在△AEG与△GCH中，

∠AEG=∠GCH AE=GC ∠EAG=∠CGH

，
∴△AEG≌△GCH（ASA），
∴AG=GH；

（2）解：当G是线段BC上任意一点时，AG=GH仍成立．理由如下：
如图2，在AB上取一点E，使AE=GC，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，CH平分∠DCM，
∴∠GCH=135°．
∵BE=BG，
∴∠BEG=45°，
∴∠AEG=135°，
∴∠AEG=∠GCH．
∵AG⊥GH，
∴∠CGH+∠AGB=90°，
又∵∠EAG+∠AGB=90°，
∴∠EAG=∠CGH．
在△AEG与△GCH中，

∠AEG=∠GCH AE=GC ∠EAG=∠CGH

，
∴△AEG≌△GCH（ASA），
∴AG=GH；

（3）解：当G是线段BC的延长线上任意一点时，AG=GH仍成立．理由如下：
如图3，在BA的延长线上取一点E，使AE=GC，连接EG，则BE=BG．
∵∠B=90°，BG=BE，
∴∠AEG=45°，
又∠GCH=45°，
∴∠AEG=∠GCH．
∵∠EAG=90°+∠DAG，∠CGH=90°+∠BGA，
∵AD∥CB，
∴∠DAG=∠BGA，
∴∠EAG=∠CGH．
在△AEG与△GCH中，

∠AEG=∠GCH AE=GC ∠EAG=∠CGH

，
∴△AEG≌△GCH（ASA），
∴AG=GH．

点评：此题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题关键．