Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，以AD为腰作等腰△ADE，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE．
（1）求证：BD=CE；
（2）已知BC=8，∠BAC=∠DAE=30°，若△DCE的面积为1，求线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）易证∠BAD=∠EAC，即可证明△ABD≌△ACE，即可得到结论；
（2）过D作DF⊥EC交EC的延长线于F，由△ABD≌△ACE，得到∠ACE=∠B，根据∠BAC=30°，于是得到∠B+∠ACB=150°，等量代换得到∠BCE=∠ACB+∠ACE=150°，由邻补角的性质得到∠DCF=30°，根据直角三角形的性质得到DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$（BC-BD）=$\frac{1}{2}$（8-BD），根据△DCE的面积为1，列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；

（2）过D作DF⊥EC交EC的延长线于F，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B，
∵∠BAC=30°，
∴∠B+∠ACB=150°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=150°，
∴∠DCF=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$（BC-BD）=$\frac{1}{2}$（8-BD），
∵CE=BD，
∴DF=4-$\frac{1}{3}$CE，
∵△DCE的面积为1，
∴$\frac{1}{2}$DF•CE=$\frac{1}{2}$CF•BD=$\frac{1}{2}$（8-BD）•BD=1，
解得：BD=4-$\sqrt{14}$，BD=4+$\sqrt{14}$（不合题意，舍去）．

点评 本题考查等腰三角形的性质以及三角形全等的判定和性质，灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键．