Question

3．如图，两个全等的等边三角形△ABC，△DEF的一边重叠地放在直线l上，AC、DE交于点P．
（1）判断△PCE的形状，并说明理由；
（2）证明：AF=BD．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质推出∠DEC=∠ACE=60°，求出∠EPC，根据等边三角形的判定推出即可；
（2）根据等边三角形的性质得出AC=DE，根据SAS证△ACF≌△DEB，即可推出答案．

解答 （1）解：△PCE是等边三角形，
理由是：∵△ABC、△DEF是全等的等边三角形，
∴∠DEC=∠ACE=60°，
∴∠EPC=180°-∠DEC-∠ACE=180°-60°-60°=60°，
∴△PCE是等边三角形．

（2）证明：∵△ACB与△DEF是等边三角形，
∴AC=DE，∠ACF=∠DEB=120°，FC=BE，
在△AFC和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DE}\\{∠ACF=∠DEB}\\{FC=BE}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△DBE，
∴AF=BD．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，运用定理进行推理是解此题的关键．