Question

15．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，国家决定对购买彩电的农民实行政府补贴．规定：每购买一台彩电，政府补贴若干元．经调查，某商场销售彩电的台数y（台）与每台彩电的补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量y也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间满足如图②所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益为多少元？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，y与x，z与x之间的函数关系式；
（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台彩电的补贴款额定为多少元？请求出总收益W的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据总收益=每台收益×总台数计算；
（2）结合图象信息分别利用待定系数法求解；
（3）把y与z的表达式代入进行整理，求函数最值即可．

解答 解：（1）该商场销售家电的总收益为800×200=160000（元）；
（2）根据题意设y=k₁x+800，Z=k₂x+200
∴400k₁+800=1200，200k₂+200=160
解得k₁=1，k₂=-$\frac{1}{5}$
∴y=x+800，z=-$\frac{1}{5}$x+200；
（3）W=yz=（x+800）•（-$\frac{1}{5}$x+200）=-$\frac{1}{5}$x²+40x+160000=-$\frac{1}{5}$（x-100）²+162000．
∵-$\frac{1}{5}$＜0，
∴W有最大值．
当x=100时，W最大=162000，
∴政府应将每台补贴款额x定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元．

点评 本题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求函数解析式和二次函数的最值问题，审清题意列出代数式是解决问题的关键．