Question

【题目】如图，已知在Rt△ABC中，，以BC为直径作交AB于点E，D为AC边的中点，连接OD、DE，

（1）求证：DE是的切线．

（2）填空：①若，，则的半径长是__________．

②当∠A＝__________时，四边形OCDE是正方形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）① ；② 45°

【解析】

（1）连接OE、CE，由圆周角定理得出∠BEC=90°，则∠AEC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出AD=CD=DE，由等腰三角形的性质得出∠DEC=∠DCE，∠OCE=∠OEC，证出∠OED=90°，即可得出结论；

（2）①由勾股定理求出CE=2，证△OCE∽△DAE，得出比例式，求出OC的长即可；

②证△ABC是等腰直角三角形，得出∠ABC=45°，证四边形OCDE是矩形，由OC=OE，即可得出四边形OCDE是正方形．

（1）证明：连接OE、CE，如图所示：

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BEC=90°，

∴∠AEC=90°，

∵D是AC的中点，

∴DE=AC=AD=CD，

∴∠DEC=∠DCE，

∵OC=OE，

∴∠OCE=∠OEC，

∵∠ACB=90°，

∴∠DEC+∠OEC=∠DCE+∠OCE=∠ACB=90°，

∴∠OED=90°，即OE⊥DE，

∵E为⊙O上的点，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：①∵AC=3，

∴AD=DE=AC=，

∵∠AEC=90°，

∴，

∵∠BEC=90°，

∴∠CBE+∠OCE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBE+∠DAE=90°，

∴∠OCE=∠DAE，

∵AD=DE，OC=OE，

∴∠OCE=∠OEC=∠DAE=∠DEA，

∴△OCE∽△DAE，

∴，

即，

解得：OC=3，

故答案为：3；

②当∠A=45°时，四边形OCDE是正方形；理由如下：

∵∠A=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB=45°，

∴∠COE=∠OBE+∠OEB=45°+45°=90°，

∵∠ACB=90°，∠OED=90°，

∴四边形OCDE是矩形，

∵OC=OE，

∴四边形OCDE是正方形；

故答案为：45°．