Question

【题目】如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函数图象的对称轴于点，若点C为的中点.

（1）求的值；

（2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标；

（3）对于（2）中的点，在二次函数图象上是否存在点，使得∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）设对称轴与轴交于点，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA的长，进而可得点A的坐标，再把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出m的值；

（2）设点Q的横坐标为n，当点在轴上方时，过点Q作QH⊥x轴于点H，利用可得关于n的方程，解方程即可求出n的值，进而可得点Q坐标；当点在轴下方时，注意到，所以点与点关于直线对称，由此可得点Q坐标；

（3）当点为x轴上方的点时，若存在点P，可先求出直线BQ的解析式，由BP⊥BQ可求得直线BP的解析式，然后联立直线BP和抛物线的解析式即可求出点P的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P是否满足条件；当点Q取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.

解：（1）设抛物线的对称轴与轴交于点，如图1，∴轴，∴，

∵抛物线的对称轴是直线，∴OE=1，∴，∴

∴将点代入函数表达式得：，∴；

（2）设，

①点在轴上方时，，如图2，过点Q作QH⊥x轴于点H，∵，∴，解得：或（舍），∴；

②点在轴下方时，∵OA=1，OC=3，∴，∵，∴点与点关于直线对称，∴；

（3）①当点为时，若存在点P，使∽，则∠PBQ=∠COA=90°，

由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，

联立方程组：，解得：，，∴，

∵，，

∴，∴不存在；

②当点为时，如图4，由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，

联立方程组：，解得：，，∴，

∵，，

∴，∴不存在.

综上所述，不存在满足条件的点，使∽.