Question

如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）设从出发起运动了x秒，且x＞2.5时，Q点的坐标；
（2）当x等于多少时，四边形OPQC为平行四边形？
（3）四边形OPQC能否成为等腰梯形？说明理由；
（4）设四边形OPQC的面积为y，求出当x＞2.5时y与x的函数关系式；并求出y的最大值．

Answer 1

分析：根据题意可分别列出Q点在OC段，CB段的函数关系式和P点在DA上的关系式，按要求进行解答即可．

解答：解：先求出各个点到终点需要的时间：
∵C（4，3），
∴OC=

42+32

=5，
∵B（14，3），
∴BC=14-4=10，
∴t（Q）=

5+14-4

2

=

15

2

，
t（P）=14，
（1）由题意可知，当x＞2.5时，Q点在CB上运动，
故横坐标为2x-5+4=2x-1，纵坐标为3，故坐标为（2x-1，3）；

（2）由平行四边形的对边相等可知，2x-5=x，解得x=5；

（3）不能，OPQC成为等腰梯形的条件是P跑到Q的前面去，且x＞2.5这时的Q和O关系为
p的横坐标-Q的横坐标=4，
于是列方程：1×x=4+2×（x-2.5）+4，
解得x=-3（舍去），
故OPQC不能成为等腰梯形．

（4）当x＞2.5时，四边形OPQC是一个梯形，所以：
y=

3(2x-5+x)

2

=

3(3x-5)

2

因为x最大为7.5，而根据上面的函数式知道y随x的增大而增大，
所以当x为最大时y为最大．
所以，y最大=3×

3×7.5-5

2

=26.25．

点评：要求学生对直角梯形有一定的掌握，并对点在图形中的运动函数的熟练运用．