Question

如图，梯形OABC中，BC∥AO，∠BAO=90°，B（-3

3

，3），直线OC的解析式为y=-

3

x，将△OBC绕点C顺时针旋转60°后，O到O₁，B到B₁，得△O₁B₁C．
（1）求证：点O₁在x轴上；
（2）将点O₁运动到点M（-4

3

，0），求∠B₁MC的度数；
（3）在（2）的条件下，将直线MC向下平移m个单位长度，设直线MC与线段AB交于点P，与线段OC的交于点Q，四边形OAPQ的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据特殊角的三角形函数值、旋转的性质以及等边三角形的判定推知△COO₁为等边三角形，则∠COA=∠COO₁=60°，即OA与OO₁在同一直线上，所以点O₁在x轴上．
（2）由旋转的性质、坐标与图形是性质易证B₁、C、O三点共线．然后根据点B、C的坐标以及直角梯形的性质证得MC是等腰三角形B₁MO的中垂线，最后由等腰三角形“三合一”的性质求得∠B₁MC=

1

2

∠BMO=30°；
（3）根据图形知，S_{四边形OAPQ}=S_梯形PAQN+S_△QNO．然后由梯形的面积公式和三角形的面积公式进行计算．由PQ与边AB有交点来求m的取值范围．

解答：（1）证明：如图1，∵BC∥AO，B（-3

3

，3），
∴点C的纵坐标是3，
又∵直线OC的解析式为y=-

3

x，
∴3=-

3

x，
解得，x=-

3

，则C（-

3

，3）
∴tan∠COA=

3

，
∴∠COA=60°．
∵根据旋转的性质知，∠OCO₁=60°，CO=CO₁
∴△COO₁为等边三角形，
∴∠COO₁=60°
∴∠COA=∠COO₁
∴点O₁在x轴上．

（2）解：如图2，∵∠COO₁=60°，BC∥AO，
∴∠BCO=120°，
∴B₁CO₁=120°．
∵∠O₁CO=60°，
∴∠B₁CO=180°，
∴B₁、C、O三点共线．
∵C（-

3

，3），
∴CO=CO₁=O₁O=2

3

，
∵MO=4

3

，
∴MO₁=O₁O=O₁C，
可证得∠MCO=90°
∵BC=CO=2

3

，BC=B₁C，
∴B₁C=CO，
∴MB₁=MO，
∴∠B₁MC=

1

2

∠BMO=30°；

（3）解：如图3，设MC与AB边交于点D，过点C作CE∥AB交PQ于点E，过点Q作QN⊥OA于点N．
∵AD=1，PD=m，
∴AP=1-m．  
在△CEQ中，CE=m，∠ECQ=30°
∴CQ=

3

2

m，
∴OQ=2

3

-

3

2

m
∴QN=3-

3

4

m，ON=

3

-

3

4

m
∴AN=2

3

+

3

4

m
又∵S_{四边形OAPQ}=S_梯形PAQN+S_△QNO
∴S=

1

2

+

1

2

（

3

-

3

4

m）（3-

3

4

m）
∴S=-

3

8

m²-2

3

m+

11

2

3

（0＜m＜1）

点评：本题考查了一次函数的综合题．此题涉及的知识点比较多：一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，梯形的面积公式以及三角形的面积公式等．解答（3）题时，注意“分割法”的应用．