Question

如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D，E，F，得△DEF．若△ABC的边长为a．
（1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？
（2）分别求出这两个三角形的面积．
（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系？

Answer 1

分析：（1）先证明出△DEF是等边三角形，两等边三角形相似，进而求出相似比；
（2）根据三角形的面积公式求出这两个三角形的面积；
（3）算出两个三角形的面积比与边长之比，再得到结论．

解答：解：（1）∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，
∴DE=

1

2

AC，DF=

1

2

BC，EF=

1

2

AB，
∵等边三角形ABC，
∴△DEF是等边三角形，
∴△DEF与△ABC相似，相似比是

1

2

，

（2）S_△ABC=

1

2

×a×

3

2

a=

3

4

a²，
S_△DEF=

1

2

×

1

2

a×

3

4

a²=

3

16

a²．

（3）两个三角形的面积比为1：4，边长之比为1：2，
三角形的面积比等于边长之比的平方．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．