Question

如图，AB是半圆O的直径，AD和BC是它的两条切线，OD平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AB=10cm，AD=xcm，BC=ycm（x、y＞0）．
①求y关于x的函数关系式；
②试用x表出两个阴影部分的面积之和S_阴影，并探索S_阴影是否存在最小值，写出探索过程．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）利用角平分线的性质结合切线的判定方法得出即可；
（2）①利用切线长定理以及勾股定理得出y与x的函数关系式即可；
②利用2S_阴影=S_{四边形ABCD}-S_半圆面积，进而得出S与x的函数关系，再利用配方法求出最值即可．

解答：（1）证明：过点O作OE⊥DC于点E，
∵AB是半圆O的直径，AD和BC是它的两条切线，
∴∠BAD=90°，
∵OD平分∠ADC，
∴AO=OE，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：①过点D作DF⊥BC于点F，
∵AD，CD是⊙O的切线，E为切点，
∴BC=EC，AD=DE，
∵AB=10cm，AD=xcm，BC=ycm（x、y＞0），
∴DF=10，DC=x+y，FC=y-x，
则DF²+FC²=DC²，
即10²+（y-x）²=（x+y）²，
整理得：100=4xy，
则y=

25

x

；
②由题意可得：2S_阴影=S_{四边形ABCD}-S_半圆面积=

1

2

（x+y）×10-

1

2

π×25=5（x+

25

x

）-

25π

2

，
故S_阴影=

5

2

（x+

25

x

）-

25

4

π=

5

2

[（

x

-

5

x

）²+10]-

25π

4

=

5

2

（

x

-

5

x

）²+25-

25π

4

，
故当

x

-

5

x

=0时，S_阴影最小为25-

25π

4

．

点评：此题主要考查了切线的判定以及切线长定理以及配方法求最值，得出S与x的函数关系是解题关键．