题目内容
如图，已知双曲线
经过点M，它关于y轴对称的双曲线为
.
（1）求双曲线
与
的解析式；
（2）若平行于
轴的直线交双曲线
于点A，交双曲线
于点B，在
轴上存在点P，使以点A，B，O，P为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标．
（1）
，
；
（2）满足要求的点P有两个：
或
．
【解析】
试题分析：（1）根据M点的坐标求出
的解析式，根据对称性求出
的解析式；
（2）设出A、B的坐标，根据四边形OPAB是菱形，得到
是等边三角形，求出AB，再利用勾股定理求出OE，OE等于点A的纵坐标，联立方程，从而求出P的坐标．
试题解析：（1）
在双曲线
上，
，
，
双曲线
与
关于
轴对称，
；
（2）
双曲线与关于轴对称
∴点A与点B关于y轴对称，有OA=OB.
设
，则
，AB=2m，
∵四边形OPAB是菱形，则OB=AB，
， 
是等边三角形.
， 
，
， 
.
， 
， 
，
同理，当四边形OABP是菱形时，
综上所述，满足要求的点P有两个：或．
考点：1.反比例函数2.菱形性质．
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