Question

已知，M是等边△ABC边BC上的点．
（1）如图1，过点M作MN∥AC且交于点N，求证：BM=BN；
（2）如图2，连接AM，过点M作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交与点H，过H作HD⊥BC于点D．求证：MA=MH．

Answer 1

分析：（1）由条件可以得出∠A=∠B=∠C=60°，再根据平行线的性质就可以得出∠BMN=∠BNM=60°，得出△BNM是等边三角形就可以得出结论；
（2）过点M作MN∥AC交AB于N，由条件可以得出∠HMC=∠BAM，∠ANM=∠MCH和AN=BC就可以得出△ANM≌△MCH，就可以得出结论．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．
∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠A=60°．
∴∠BMN=∠BNM=∠B=60°，
∴△BNM是等边三角形，
∴BM=BN；

（2）过点M作MN∥AC交AB于N，
∴BM=BN，∠ANM=120°．
∵∠AMH=60°，
∴∠AMB+∠HMC=120°．
∵∠B=60°，
∴∠AMB+∠BAM=120°．
∴∠HMC=∠BAM．
∵∠ACB=60°，
∴∠ACD=120°．
∵CH平分∠ACD，
∴∠ACH=

1

2

∠ACD=60°，
∴∠MCH=120°，
∴∠ANM=∠MCH．
∵AB=BC，
∴AB-BN=BC-BM，
∴AN=BC．
在△ANM和△MCH中，

∠BAM=∠HMC AN=BC ∠ANM=∠MCH

，
∴△ANM≌△MCH（ASA），
∴MA=MH．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等时间性的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．