Question

22、已知，△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角板DEF如图放置，让三角板在BC所在的直线上向右平移，如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角形的斜边DF上．
（1）利用图1证明：EF=2BC；
（2）在三角板的平移过程中，在图2中线段EB=AH是否始终成立（假定AB，AC与三角板斜边的交点为G、H）？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由？

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质，得∠ACB=60°，AC=BC．结合三角形外角的性质，得∠CAF=60°-30°=30°，则CF=AC，从而证明结论；
（2）根据（1）中的证明方法，得到CH=CF．根据（1）中的结论，知BE+CF=AC，从而证明结论．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC．
∵∠F=30°
∴∠CAF=60°-30°=30°．
∴∠CAF=∠F，
∴CF=AC，
∴CF=AC=EC，
∴EF=2BC．（4分）

（2）成立．       （1分）
根据（1）中证CF=AC的方法，同理，得CH=CF．
∵EF=2BC，
∴BE+CF=BC．
又∵AH+CH=AC，AC=BC，
∴AH=BE．（9分）

点评：此题综合运用了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定及性质．