Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：
①abc＞O，②2a+b=O，③b²-4ac＜O，④4a+2b+c＞O
其中正确的是（ ）
A．①③
B．只有②
C．②④
D．③④

Answer 1

【答案】分析：由抛物线开口向下，得到a小于0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b大于0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项①错误；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b²-4ac大于0，选项②错误；由x=-2时对应的函数值小于0，将x=-2代入抛物线解析式可得出4a-2b+c小于0，最后由对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到b=-2a，得到选项④正确，即可得到正确结论的序号．
解答：解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵-＞0，∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，①错误；
∵对称轴为直线x=1，∴-=1，即2a+b=0，②正确，
∵抛物线与x轴有2个交点，∴b²-4ac＞0，③错误；
∵对称轴为直线x=1，
∴x=2与x=0时的函数值相等，而x=0时对应的函数值为正数，
∴4a+2b+c＞0，④正确；
则其中正确的有②④．
故选C．
点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b²-4ac的符号，此外还要注意x=1，-1，2及-2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．