Question

（2012•宁德）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∠D=30°．
（1）求∠A的度数；
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为E，交⊙O于点F，CF=4

3

，求弧BC的长度．（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）连接OC．利用切线的性质推知△OCD为直角三角形，然后在Rt△OCD中由直角三角形的性质求得圆心角∠COB=60°；最后由圆周角定理求得∠A的度数即可；
（2）利用垂径定理、特殊角的三角函数值求得⊙O的半径OC=4；然后根据弧长的计算公式

nπr

180

来求弧BC的长度．

解答：解：（1）连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°；
又∵∠D=30°，
∴∠COD=60°，即∠COB=60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A=

1

2

∠COD=30°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）；

（2）∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，CF=4

3

，
∴CE=

1

2

CF=2

3

（垂径定理）；
由（1）知，∠COB=60°，
∴OC=

CE

sin∠COB

=4，
∴弧BC的长度为：

60×π×4

180

=

4π

3

．

点评：本题考查了圆的综合题：同弧所对的圆周角是圆心角的一半；垂直于弦的直径平分弦；运用正弦的定义进行几何计算．