Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，D是⊙O上一点，CD=CB，连AD，OC，OC交⊙O于E，交BD于P．
（1）求证：CD是⊙O的切线； 
（2）求证：∠BCD=2∠ABD；
（3）求证：E是△BCD的内心；
（4）若∠BCD=60°，求

EF

CE

的值．

Answer 1

分析：（1）首先连接OD，易证得△OCD≌△OBC，又由BC是⊙O的切线，即可证得CD是⊙O的切线；
（2）由切线长定理，可得∠OCB+∠CBD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，即可证得∠OCB=∠ABD=

1

2

∠BCD；
（3）由垂径定理易证得

DE

=

BE

，由圆周角定理可得∠DBE=

1

2

∠BOE，继而可得点E是△BCD的角平分线的交点，即可得E是△BCD的内心；
（4）易得△BCD是等边三角形，则可知E是△ABC的中线的交点，即可求得

EF

CE

的值．

解答：（1）证明：连接OD，
在△OCD和△OCB中，

CD=CB OC=OC OD=OB

，
∴△OCD≌△OBC（SSS），
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
即∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）证明：∵CD与BC都是⊙O的切线，
∴OC⊥BD，OB⊥BC，∠OCD=∠OCB=

1

2

∠BCD，
∴∠OCB+∠CBD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠OCB=∠ABD，
∴∠BCD=2∠ABD；

（3）证明：∵OC⊥BD，
∴

DE

=

BE

，
∴∠DBE=

1

2

∠BOE，
∵∠BOE+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠BOE，
∴∠DBE=

1

2

∠CBD，
∵∠OCD=∠OCB，且点E在OC上，
∴点E是△BCD的角平分线的交点，
即点E到△BCD的三边的距离相等；
∴E是△BCD的内心；

（4）解：∵∠BCD=60°，CD=CB，
∴△BCD是等边三角形，
∵点E是△BCD的角平分线的交点，
∴点E是△BCD的中线的交点，
∴

EF

CE

=

1

2

．

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、圆的内心的性质、垂径定理、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．