Question

（1）计算：(

1

2

)-1-(2009-

3

)0+4sin30°-|-2|；
（2）先化简，再求值：

1

2x

-

1

x+y

(x2-y2+

x+y

2x

)，其中x=

2

，y=3；
（3）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．①求证：△ABE∽△ADF；②若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析：（1）此题涉及了负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值4个考点，需要针对各考点分别进行计算，然后再按实数的运算规则求得结果．
（2）观察原式，可先运用乘法分配律对第二项进行化简，然后再进行分式的加减运算，最后代值计算即可．
（3）①由于平行四边形的对角相等，得∠ABE=∠ADF，而∠AEB、∠AFD都是直角，即可判定所求的两个三角形相似；
②由①的相似三角形可证得∠BAG=∠HAD，易证得∠AGB=∠AHD，联立已知的AG=AH，即可证得△AGB≌△AHD，即可得到AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得到所要求证的结论．

解答：（1）解：原式=2-1+4×

1

2

-2=1．

（2）解：原式=

1

2x

-

1

x+y

(x+y)(x-y)•

x+y

2x

=

1

2x

-(x-y)-

1

2x

=-（x-y）
=y-x；
把x=

2

，y=3代入上式，得原式=3-

2

．

（3）证明：①∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE=∠ADF；
∴△ABE∽△ADF．
②∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH；
∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，
从而∠AGB=∠AHD，
∴△ABG≌△ADH，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．

点评：此题考查了实数的运算、二次根式的化简求值、分式的混合运算，平行四边形的性质、菱形的判定以及相似三角形、全等三角形的判定和性质，难度适中．