题目内容
如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB分别交AC，BC于点E，F，作GH∥BC分别交AB，AC于点G，H，作MN∥AC分别交AB，BC于点M，N，试猜想：EF+GH+MN的值是多少？其值是否随P位置的改变而变化？并说明你的理由．考点：等边三角形的判定与性质
专题：
分析：根据题意判定四边形AMPE是平行四边形，则根据平行四边形的性质和等边△AGH的性质将EF+GH+MN转化为AM+GB+AM+MG+MG+GB=2（AM+MG+GB）=2AB=2x4=8．
解答：解：EF+GH+MN的值是8，其值不会随P位置的改变而变化；
理由：∵P是△ABC内的任意一点，MN∥AC，EF∥AB，
∴四边形AMPE是平行四边形，
∴PE=AM．
同理PF=GB．
∴EF=PE+PF=AM+GB ①
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵GH∥BC
∴∠AGH=∠B=60°，∠AHG=∠C=60°
∴△AGH是等边三角形
∴GH=AG=AM+MG ②
同理MN=MB=MG+GB ③
①+②+③得
EF+GH+MN
=AM+GB+AM+MG+MG+GB
=2（AM+MG+GB）
=2AB=2x4=8
即EF+GH+MN=2AB=8．
理由：∵P是△ABC内的任意一点，MN∥AC，EF∥AB，
∴四边形AMPE是平行四边形，
∴PE=AM．
同理PF=GB．
∴EF=PE+PF=AM+GB ①
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵GH∥BC
∴∠AGH=∠B=60°，∠AHG=∠C=60°
∴△AGH是等边三角形
∴GH=AG=AM+MG ②
同理MN=MB=MG+GB ③
①+②+③得
EF+GH+MN
=AM+GB+AM+MG+MG+GB
=2（AM+MG+GB）
=2AB=2x4=8
即EF+GH+MN=2AB=8．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质．根据已知条件判定四边形AMPE是平行四边形，△AGH的等边三角形是解题的关键．
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