Question

【题目】已知：如图，在中，，，．是边的中点，点为边上的一个动点（与点、不重合），过点作，交边于点．联结、，设．

（1）当时，求的面积；

（2）如果点关于的对称点为，点恰好落在边上时，求的值；

（3）以点为圆心，长为半径的圆与以点为圆心，长为半径的圆相交，另一个交点恰好落在线段上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据题意过E作EM⊥AB于M，根据勾股定理和三角函数定义以及由平行线分线段成比例定理可得EF的长，根据三角形面积公式即可得出结论；

（2）根据题意过E作EN⊥AB于N，连接DD'，交EF于Q，由对称进行分析并根据三角函数计算以及证明四边形ENDQ是矩形，进而得出则，最后利用三角函数即可得出结论；

（3）根据题意设与相交于点，并计算AF的长，根据平行线分线段成比例定理可得AG的长，证明，得，列方程解出即可．

解：（1）过点作，垂足为点．

在中，，，，

∴，．

∵，，

∴．

在中，，，，

∴．

∵，

∴．

又∵，

∴．

∴．

（2）过点作，垂足为点，设与相交于点．

∵、关于对称，

∴，．

∴．

∵，

∴．

在中，，，，

∴．

∴．

∵，，，

∴∠END=∠NDQ=∠EQD=90°，

∴四边形ENDQ是矩形，

∴．

在中，，，，，

∴．

（3）设与相交于点，如下图，

在中，，，，

∴，．

∴．

∵，

∴．

∵，，

∴．

∴．

∵圆和圆相交，

∴．

∴．

∵，，

∴．

∴．

∴．

解得（舍去），．