Question

15．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，连接AC、BD，半径CO交BD于点E，过点C作切线，交AB的延长线于点F，且∠CFA=∠DCA．
（1）求证：OE⊥BD；
（2）若BE=2，CE=1
①求⊙O的半径；
②△ACF的周长是10+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到OC⊥CF，推出DB∥CF，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）①设⊙O的半径为r，根据勾股定理求得结论；
②连接BC，根据勾股定理得到BC=$\sqrt{5}$，根据圆周角大家得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，由弦切角定理得到∠A=∠BCF，根据相似三角形的性质得到CF=2BF，BF=$\frac{5}{3}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∵∠DCA=∠DBA，
∴∠DBA=∠CFA，
∴DB∥CF，
∴∠OEB=∠OCF=90°，
∴OE⊥DB；

（2）解：①设⊙O的半径为r，
∵CE=1，OE=r-1，
∵BE=2，
在Rt△BOE中，OB²=OE²+BE²，
∴r²=（r-1）²+2²，
∴r=$\frac{5}{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{5}{2}$；
②连接BC，
∵CE=1，BE=2，
∴BC=$\sqrt{5}$，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵CF是⊙O的切线，
∴∠A=∠BCF，
∵∠F=∠F，
∴△ACF∽△CBF，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{AC}{BC}$=2，
∴CF=2BF，
∵$\frac{CF}{AF}=\frac{BF}{CF}$，
∴CF²=AF•BF，
∴4BF²=（5+BF）•BF，
∴BF=$\frac{5}{3}$，
∴CF=$\frac{10}{3}$，AF=$\frac{20}{3}$，
∴△ACF的周长=AC+CF+AF=2$\sqrt{5}$+$\frac{10}{3}$+$\frac{20}{3}$=10+2$\sqrt{5}$．
故答案为：10+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．