Question

【题目】对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若图形上存在两个点，使得是边长为2的等边三角形，则称点是图形的一个“和谐点”．

已知直线与轴交于点，与轴交于点的半径为．

（1）若，在点中，直线的和谐点是___________；

（2）若上恰好存在2个直线的和谐点，求的取值范围；

（3）若，线段上存在的和谐点，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）结合定义，画图可知，当直线上的两点O，S与或S，T与构成等边三角形，直线的和谐点是；

（2）由等边三角形的特征及直线，结合图形及对称性数形结合即可求解；

（3）结合图形构造等边三角形知：分或，而为定值，故关键求的取值范围即可，进一步画图可知当时，最小，当的和谐点恰好是点（即点与点重合）时，最大，分别计算即可得到的取值范围

解：（1）直线的和谐点是； 如图所示：

（2）如图，设在直线上，点在上，是边长为2的等边三角形，

，∴当直线位于时，上只有1个点是直线的和谐点，

当直线位于时，上有3个点都是直线的和谐点，

∴满足条件的直线应位于直线和之间．

设过点且与相切的直线为，直线分别与轴，轴交于点．连接，则．取中点，连接，则，且三点共线，．

∵直线与轴交于点，与轴交于点，

，

，

．

∴在和中，

，

，

，

由对称性得，即，

的取值范围是．

（3）的取值范围是．

详解如下：

．

如图，设在上，是上的点，是边长为2的等边三角形，

设的中点为，则三点共线，

，

又（图1），或（图2），而为定值，

∴只需考虑的取值范围即可．

如图3，当时，最小，此时的半径最小．

，

．

又，

．

∴在中，，

．

如图4，当的和谐点恰好是点（即点与点重合）时，最大，此时的半径最大，

，

，

又，

．

综上，的取值范围是．