如图.已知抛物线C1:y=-$\frac{1}{2}$x2.平移抛物线y=x2.使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上.设平移后的抛物线为C2.且C2与y轴交于点C(0.2)．(1)求抛物线C2的解析式,(2)抛物线C2与x轴交于A.B两点.求点A.B的坐标及过点A.B.C的圆的圆心E的坐标,(3)在过点且平行于x轴的直线上是否存在点F.使四边形CEBF为菱形?若存在.求出点F的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

如图，已知抛物线C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²，平移抛物线y=x²，使其顶点D落在抛物线C₁位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C₂，且C₂与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线C₂的解析式；
（2）抛物线C₂与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C的圆的圆心E的坐标；
（3）在过点（0，$\frac{1}{2}$）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）设D（a，-$\frac{1}{2}$a²），进而求出a的值得出函数解析式即可；
（2）利用y=0求出A，B点坐标，再利用|CE|=|AE|，求出m的值进而得出答案；
（3）利用菱形的性质结合|BF|=|CF|=|CE|，再求出|FC|，进而得出答案．

解答解：（1）由题意设D（a，-$\frac{1}{2}$a²），
假设抛物线C₂的解析式为：y=（x-a）²-$\frac{1}{2}$a²，
∵点C在抛物线C₂上，
∴将C（0，2）代入上式，
解得：a=±2，
∵点D在y轴右侧，
∴a=2，
∴抛物线C₂的解析式为：y=（x-2）²-2；

（2）由题意，在y=（x-2）²-2中，令y=0，则x=2±$\sqrt{2}$，
∵点B在点A的右侧，
∴A（2-$\sqrt{2}$，0），B（2+$\sqrt{2}$，0），
又∵过点A，B，C的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上，
∴设E（2，m），且|CE|=|AE|，
则2²+（2-m）²=m²+（2-2+$\sqrt{2}$）²，
解得：m=$\frac{3}{2}$，
∴圆心E的坐标为：（2，$\frac{3}{2}$）；

（3）假设存在点F（t，$\frac{1}{2}$），使得四边形CEBF为菱形，
则|BF|=|CF|=|CE|，
∴（$\frac{1}{2}$）²+（2+$\sqrt{2}$-t）²=（2-$\frac{1}{2}$）²+t²，
解得：t=$\sqrt{2}$，
当t=$\sqrt{2}$时，F（2，$\frac{1}{2}$），
此时|EC|=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
|FC|=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（2-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴|CF|=|BF|=|BE|=|EC|，
即存在点F（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），使得四边形CEBF为菱形．