Question

将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；

(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与(2)中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如图，∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a　≠　0)的图象经过点A(0，6)， 　　∴c＝6．　　1分 　　∵抛物线的图象又经过点(–3，0)和(6，0)， 　　∴　　2分 　　解之，得　　3分 　　故此抛物线的解析式为：y＝－x2＋x＋6　　4分 　　(2)设点P的坐标为(m，0)， 　　则PC＝6－m，S△ABC＝BC·AO＝×9×6＝27．5分 　　∵PE∥AB， 　　∴△CEP∽△CAB　　6分 　　∴＝()2，即＝()2 　　∴S△CEP＝(6－m)2．7分 　　∵S△APC＝PC·AO＝(6－m)×6＝3(6－m) 　　∴S△APE＝S△APC－S△CEP＝3(6－m)－(6－m)2＝－(m－)2＋． 　　当m＝时，S△APE有最大面积为；此时，点P的坐标为(，0)．8分 　　(3)如图，过G作GH⊥BC于点H，设点G的坐标为G(a，b)，9分 　　连接AG、GC， 　　∵S梯形AOHG＝a(b＋6)， 　　S△CHG＝(6－a)b 　　∴S四边形AOCG＝a(b＋6)＋(6－a)b＝3(a＋b)．10分 　　∵S△AGC＝S四边形AOCG－S△AOC 　　∴＝3(a＋b)－18．11分 　　∵点G(a，b)在抛物线y＝－x2＋x＋6的图象上， 　　∴b＝－a2＋a＋6． 　　∴＝3(a－a2＋a＋6)－18 　　化简，得4a2－24a＋27＝0 　　解之，得a1＝，a2＝ 　　故点G的坐标为(，)或(，)．12分