Question

16．已知抛物线C₁：y=x²+bx+c经过点A（-1，3），B（3，3）
（1）求抛物线C₁的表达式及顶点坐标；
（2）若抛物线C₂：y=ax²（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接把A、B两点坐标代入y=x²+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线C₁的解析式，再把解析式配成顶点式可的抛物线的顶点坐标；
（2）由于AB∥x轴，把A、B两点坐标代入y=ax²可计算出对应的a的值，然后根据抛物线C₂：y=ax²（a≠0）与线段AB恰有一个公共点可确定a的范围．

解答 解：（1）将A（-1，3）、B（3，3）代入y=x+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=3}\\{9+3b+c=3}\end{array}\right.$，解得b=-2，c=0，
所以抛物线C₁的解析式为y=x²-2x；
∵y=x²-2x=（x-1）²-1
∴抛物线C₁的顶点坐标为（1，-1）；
（2）当抛物线C₂恰好经过A点时，将A（-1，3）代入y=ax²得a=3，
当抛物线C₂恰好过经过B点，将B（3，3）代入y=ax²得9a=3，解得a=$\frac{1}{3}$，
所以a的取值范围为$\frac{1}{3}$≤a＜3．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．