Question

如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，OA=1，OB=3；动点D从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，当动点D到某一位置时，过点D作OA的垂线交线段AB于点N，设运动的时间为t秒，试问△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：勾股定理,一元二次方程的应用,等腰三角形的判定

专题：动点型

分析：△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形：（I）若ON=AN，（II）若ON=OA，（III）若OA=AN，需要分类讨论，逐一计算．

解答：解：∵在Rt△AOB中，OA=1，OB=3，
∴tanA=3．
若△AON为等腰三角形，有三种情况：
（I）若ON=AN，如答图1所示：
则Q为OA中点，OQ=

1

2

OA=

1

2

，
∴t=

1

2

；
（II）若ON=OA，如答图2所示：
设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，OQ=OA-AQ=1-x，
在Rt△NOQ中，由勾股定理得：OQ²+NQ²=ON²，
即（1-x）²+（3x）²=1²，解得x₁=

1

5

，x₂=0（舍去），
∴x=

1

5

，OQ=1-x=

4

5

，
∴t=

4

5

；
（III）若OA=AN，如答图3所示：
设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：NQ²+AQ²=AN²，
即（x）²+（3x）²=1²，解得x₁=

10

10

，x₂=-

10

10

（舍去），
∴OQ=1-x=1-

10

10

，
∴t=1-

10

10

．
综上所述，当t为

1

2

秒、

4

5

秒、（1-

10

10

）秒时，△AON为等腰三角形．

点评：本题考查了勾股定理、解一元二次方程、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．本题为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．