Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC．EF是梯形的中位线，AB∥DH．AD=1．BC=3，CD=4．有下列4个结论：①∠BCD=60°，②EH=2，③四边形EHCF是菱形，④△EHB∽△CEB．其中正确的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,菱形的判定,直角梯形,梯形中位线定理

专题：

分析：在直角三角形CDH中，CH=BC-BH，而四边形ABHD是矩形，故AD=BH，从而可求CH，利用三角函数可求∠DCH，即∠DCB的值；再利用梯形中位线定理，及F时CD中点，可证四边形EHCF是菱形；根据∠HEF=60°，四边形EHCF是菱形，求出∠BEH=30°，从而得出△EHB∽△CEB．

解答：解：在Rt△DCH中，CD=4，CH=CB-BH=2，
∴∠DCH=60°，即∠BCD=60°，
在四边形EHCF中，又CH=EF=2，CH∥EF，CF=

1

2

CD=2，
∴四边形EHCF是菱形，
∵∠BCD=60°，四边形EHCF是菱形，
∴∠HEF=60°，
∴∠HEC=30°，
∴∠BEH=30°，
∴△BHE∽△BEC．
故正确答案为①②③④，
故选D．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质、勾股定理、菱形的判定、三角形面积及圆的切线的判定．本题比较复杂，信息量较大，需要同学们熟知梯形及三角形中位线定理．