Question

1．如图，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，则△ADN的最小面积为$\frac{3}{8}$cm²．

Answer 1

分析 设BM=xcm，则MC=（1-x）cm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据三角形的面积公式表示出△ADN的面积，用二次函数的性质求面积的最小值．

解答 解：设BM=xcm，则MC=（1-x）cm，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，
∴∠AMB=∠MNC，
又∵∠B=∠C，
∴△ABM∽△MCN，则$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CN}$，即$\frac{1}{1-x}$=$\frac{x}{CN}$，
解得：CN=$\frac{x（1-x）}{1}$=x（1-x），
∴S_△ADN=S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{2}$×1×[1-x（1-x）]=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$＜0，
∴当x=$\frac{1}{2}$cm时，S_△ADN最小，最小值是$\frac{4×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-（-\frac{1}{2}）^{2}}{4×\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{8}$（cm²）．
故答案是：$\frac{3}{8}$cm²．

点评 本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．