Question

【题目】如图1，已知函数y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．

（1）求直线BC的函数解析式；

（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．

①若△PQB的面积为，求点M的坐标：

②在①的条件下，在直线PQ上找一点R，使得△MOR≌△MOQ，直接写出点R的坐标；

（3）连接BM，如图2．若∠BMP＝∠BAC，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）①M（，0）或M（﹣，0）；②点R的坐标为（﹣，﹣﹣2）或（，﹣2）；（3）点P的坐标为（﹣，）或（，）

【解析】

（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式；

（2）①先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论；

②如图2，当点M在y轴的左侧时，当点M在y轴的右侧时，如图3，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（3）分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°，所以，当∠MBC＝90°即可，利用勾股定理建立方程，即可得出结论．

（1）解：对于y＝x+2，

由x＝0得：y＝2，

∴B（0，2）

由y＝0得：y＝x+2＝0，解得x＝﹣6，

∴A（﹣6，0），

∵点C与点A关于y轴对称，

∴C（6，0），

设直线BC的函数解析式为y＝kx+b

解得，

∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+2；

（2）解：①设M（m，0），

则P（m，m+2）、Q（m，﹣m+2），

如图1，过点B作BD⊥PQ于点D，

∴PQ＝|（﹣m+2）﹣（m+2）|＝|m|，

BD＝|m|，

∴S△PQB＝PQBD＝×m2＝，

解得m＝，

∴M（，0）或M（﹣，0）；

②如图2，当点M在y轴的左侧时，

∵△MOR≌△MOQ，

∴MR＝MQ＝﹣×（﹣）+2＝+2，

∵R（﹣，﹣﹣2），

当点M在y轴的右侧时，如图3，

∵△MOR≌△MOQ，

∴MR＝MQ＝﹣×（）+2＝2﹣，

∵R（，﹣2），

综上所述，点R的坐标为（﹣，﹣﹣2）或（，﹣2）；

（3）解：如图2，当点M在y轴的左侧时，

∵点C与点A关于y轴对称

∴AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA

∵∠BMP＝∠BAC，

∴∠BMP＝∠BCA

∵∠BMP+∠BMC＝90°，

∴∠BMC+∠BCA＝90°，

∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，

∴BM2+BC2＝MC2，

设M（x，0），则P（x，x+2），

∴BM2＝OM2+OB2＝x2+4，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+22＝40，

∴x2+4+40＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，

∴P（﹣，），

当点M在y轴的右侧时，如图3，

同理可得P（，），

综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）．